Белов-Канель Алексей Яковлевич (Bar-Ilan University) — «Комбинаторика слов и символическая динамика»
Планируется рассказать про свойства символьных последовательностей, и замечательные теоремы с ними связанные и их обобщения.
Например, известно, что следующие классы слов почти эквивалентны : 1) буквы $a,b$ самым тщательным образом перемешаны, т.е. в кусках одинаковой длины количество символов каждого сорта отличается не более чем на 1, 2) Количество различных подслов длины $n$ равно $n+1$, т.е. минимально возможное 3) слово получается из поворота окружности на величину $\alpha$ при фиксации буквой $a$ попадания на дугу длины $\alpha$.
Обобщение этой теоремы дает задача Арнольда о перекладывании отрезков. Другое обобщение таково. Рассмотрим последовательность первых цифр $2^{n^2}$: $1,2,1,5,6,\dots$ ($1=2^0, 2=2^1, 16=2^{2^2}, 512=2^{3^2}, 2^{16}=65536$,… Оказывается, количество подслов длины $n$ при всех достаточно больших $n$ В ТОЧНОСТИ равно значению некоторого многочлена третьей степени от $n$
Красивые элементарные факты о поведении слов в которые добавляется не слишком много запретов, отражаются на теореме Голода-Шафаревича. Наверное, стоит упомянуть также теорему Ширшова о высоте. На ленте напечатаны цифры, от 1 до 9. Тогда в ней можно вырезать 10 стозначных чисел идущих в порядке убывания либо какая то комбинация цифр повторится много раз подряд.
В этой области есть много открытых вопросов, доступных для молодежи.
Бурцев Михаил Сергеевич (ФПМИ МФТИ) — «Глубокие нейронные сети»
Бычков Борис Сергеевич (НИУ ВШЭ) — «Склейки правильных многоугольников и формула Харера-Загира»
Склеивая все стороны многоугольника попарно, мы получаем двумерную поверхность. Мы поговорим про то, какие поверхности при этом могут получаться. Ещё интереснее посчитать сколько склеек 2n-угольника дают поверхность с g ручками. Ответ в этой задаче оказывается тесно связан с геометрией пространств модулей алгебраических кривых, но последнего мы, конечно, касаться не будем.
Гейн Андрей Александрович (УрФУ, Яндекс) — «Дерево ван Эмде Боаса и цифровые боры»
Дерево ван Эмде Боаса — структура данных, позволяющая эффективно хранить целых чисел и делать с ним удивительные вещи очень быстро. Например, сортировать массив за O(N log log N) или проверять, есть ли в нём определённый элемент за O(log log N).
Предварительно достаточно знать, что такое O(log N). Необязательно, но будет полезно, если вы слышали о деревьях поиска и хеш-таблицах.
Герман Олег Николаевич (мехмат МГУ) «Геометрия чисел»
В рамках курса мы познакомимся с теорией решёток и увидим, как геометрия помогает теории чисел. В частности, мы узнаем, что общего между формулой Пика, цепными дробями, задачей о представлении простого числа в виде суммы двух квадратов и алгебраическими числами.
Мусатов Даниил Владимирович (ФПМИ МФТИ) — «Криптографические протоколы»
Современная криптография нужна вовсе не только для задач шифрования, но и для самых разных взаимодействий в компьютерных сетях. На основе криптографических протоколов работает защищённая переписка, облачные вычисления, реестры собственности, интернет-платежи и масса других систем. В мини-курсе мы изучим общую картину и познакомимся с несколькими яркими протоколами, такими как:
- Честное бросание монетки “по телефону”
- Разделение секрета: как распределить информацию между 10 людьми, чтобы любые 7 могли её восстановить, собравшись вместе, а никакие 6 не могли
- Византийское соглашение: как серверам договориться, кто из них главный, если некоторые могут быть сломаны или захвачены
- Слепая передача: как сделать так, чтобы читатель прочёл в библиотеке только нужный ему документ, а библиотека бы не узнала, какой именно
- Протоколы электронных выборов: как добиться одновременно тайны голосования и честности подсчёта
Полянский Александр Андреевич (ФПМИ МФТИ) — «Упаковки и покрытия»
Мы обсудим то, как лучше всего упаковывать и покрывать плоскость кругами и другими фигурами. Желательно на интуитивном уровне понимать что такое предел.
Райгородский Андрей Михайлович (ФПМИ МФТИ, мехмат МГУ) — «Локальная лемма Ловаса»
Савватеев Алексей Владимирович (ФПМИ МФТИ) — «Великая теорема Ферма при n=3»
Теорема Ферма вдохновляла и направляла исследователей на протяжении долгих 3.5 веков. Её полное решение получено Эндрю Уайлзом в 1994-1995 годах, занимает сотни страниц и завершает плодотворные размышления сотен других математиков. В процессе раздумий над ней разработан мощный аппарат современной математической науки, и доказательство пока далеко от «популярности». Однако простейшие случаи n=3,4 вполне доступны старшеклассникам. В лекциях будет изложено геометрическое (насколько это возможно) доказательство теоремы Ферма для n=3, а также дано общее представление о том, как человечество шло к решению одной из самых великих и знаменитых в его истории загадок.
Садовников Александр
Смирнов Евгений Юрьевич (ВШЭ, НМУ) — «Старое и новое о цепных дробях»
Цепные дроби известны человечеству с древности. Они используются для поиска хороших приближений вещественных чисел, что, в свою очередь, полезно для самых разных задач: составления календаря, построения музыкального строя и многого другого.
Мы вкратце напомним основные сведения о цепных дробях, после чего перейдем к изложению менее известных фактов: кто такие цепные дроби Хирцебруха (дающие приближения “с избытком”) и как они связаны с обычными, как быстро перечислить все несократимые дроби со знаменателем не больше данного числа, а также при чем тут матрицы 2х2 и гиперболическая геометрия.
Если хватит времени, я также объясню, как в этой науке возникают фризы (frieze patterns), о которых я рассказывал в Дубне и на КомбАлге летом 2019 года.
Golafshan Mehdi (FAMI MIPT) — «Integer Geometry»
Обратите внимание, лекция будет на английском языке.