Белов-Канель Алексей Яковлевич (ФПМИ МФТИ, Bar-Ilan University, Shenzhen University) — «Что может быть проще сферы? Однако…»
Отображения сферы в сферу высшей размерности стягиваются в точку, отображения сферы размерности выше 1 в одномерную сферу (т.е. окружность) тоже стягиваются в точку. А что произойдет, если отображать сферы высшей размерности в двумерную сферу? Наука мало что знает… И это одна из основных проблем современной математики. В последнее время значительный прогресс был достигнут Ромой Михайловым.
Предполагается рассказать конкретно об отображении сферы на себя и отображении трехмерной сферы на двумерную, а про остальные случаи — рассказать о зоопарке.
Буланкина Вера Валерьевна (ЦПМ, школа 444) — «Исследовательские задачи»
Мы рассмотрим несколько сюжетов разной направленности доступных школьникам для исследовательской работы. Лекция является скорее обзорной (хотя после неё, надеюсь, всем желающим найдётся чего порешать) и, вероятно, будет тематически отличаться от последующих трёх заявленных лекций.
Буланкина Вера Валерьевна (ЦПМ, школа 444) — «Системы общих представителей»
Мы поговорим о системах общих представителей и их применении в комбинаторной геометрии и, возможно, не только. Первая лекция, введение в определения, надеюсь, будет понятна всем, а алчущим сложной математики, возможно, даже немного скучна, но потом мы постараемся пойти по нарастающей…
Воронов Всеволод Александрович (КМЦ АГУ) — «Некоторые задачи о перечислении графов»
Сколько существует различных графов без петель и кратных ребер на N вершинах?
Нетрудно понять, что происходит, если вершины перенумерованы числами от 1 до N, и номера вершин фиксированы. В самом деле, каждая пара вершин либо соединена, либо нет, – значит, степень двойки.
Но в том случае, если графы, отличающиеся друг от друга нумерацией, считаются одинаковыми (изоморфными) задача принципиально усложняется. Ответ уже не удается записать в виде формулы привычного вида, зависящей от N. Но метод, разработанный в первой половине прошлого века, помогает найти это число, не выписывая все графы непосредственно. Можно задать великое множество похожих вопросов.
Например, сколько существует различных связных графов? Сколько деревьев? Сколько бинарных деревьев с корнем? Некоторые из этих задач намного проще, чем задача о перечислении простых графов, некоторые сложнее, а некоторые еще не решены.
Курс посвящен классическим методам их исследования, опирающимся на производящие функции и теорему Пойа о перечислении.
Предварительных знаний, кроме базовой информации о графах, не потребуется, хотя программа будет весьма насыщенной.
Ивашкевич Евгений Васильевич (Центральный Университет) — «Компьютерные доказательства»
В этой вводной лекции мы обсудим следующие вопросы.
Какова цена ошибок программирования? Можно ли программировать вообще без ошибок? Как доказать, что в программе нет ошибок? Можно ли это доказательство поручить компьютеру? И чем в таком случае компьютерное доказательство отличается от компьютерного вычисления?
Ильинский Дмитрий Геннадиевич (ФПМИ МФТИ) — «Устойчивые паросочетания»
Задача об устойчивых паросочетаниях (или задача о марьяже) — задача из теории кооперативных игр, возникшая в середине 20-го века. Требуется найти стабильные соответствия между элементами двух множеств, имеющих свои предпочтения. Алгоритм нахождения решения был сформулирован и доказан в 1962 году и имеет широкие применения, такие как распределения врачей по больницам, стажировка сотрудников фирм, распределение пользователей сети по серверам. Авторы этого алгоритма были удостоены Нобелевской премии в 2012-м году “за теорию устойчивого распределения и моделирование некоммерческих рынков.
Предварительных знаний не требуется (за исключением базовой теории множеств), всё необходимое будет определено в рамках курса. Мы опишем постановку задачи, различные её формулировки, основной алгоритм, описание множества решений, а также обсудим похожие задачи.
Климанова Ирина Евгеньевна (ФПМИ МФТИ) — «Исчисление массивов, таблиц и диаграмм»
Сколькими способами можно разбить натуральное число в сумму нескольких слагаемых, считая, что разбиения, которые отличаются только порядком слагаемых, одинаковые? Эта известная задача связана с довольно красивыми объектами — диаграммами Юнга. Их можно представлять как картинки на клетчатой бумаге.
Оказывается, они связаны с еще несколькими интересными объектами — массивами и таблицами, у которых тоже есть симпатичная комбинаторная форма. Например, массив — это таблица из n строк и m столбцов с шариками, лежащими в клетках этой таблицы.
Но несмотря на то, что все это выглядит как какие-то понятные интуитивные конструкции, про них есть множество непростых фактов. И на всем этом строится довольно содержательная наука — теория представлений конечных симметрических групп.
Никаких предварительных знаний не требуется. Тех, кто уже знаком с диаграммами Юнга, тоже приглашаю — они раскроются с новой стороны, а еще мы много внимания уделим и другим объектам, так что скучно не будет!
Мантуров Василий Олегович (ФПМИ МФТИ, мехмат МГУ) — «Теоремы из школьной геометрии и метод фотографии»
В школьной геометрии есть много теорем про точки и прямые. Оказывается, что каждой теореме про точки и прямые соответствует очень много теорем про различные конфигурационные пространства самых различных размерностей.
Всем известна теорема Птолемея: у вписанного четырехугольника сумма произведений длин противоположных сторон равна произведению длин диагоналей.
Оказывается, теорема Птолемея дает решение уравнение пентагона, играющего важнейшую роль в теории кластерных алгебр, представлениях групп кос, инвариантах многообразий и многих других разделах математики.
Если два четырехугольника ABCD и ABCE являются вписанными, то каждый из четырехугольников ABDE, ACDE, BCDE является вписанным. Из этой (и подобной ей) очевидной теоремы можно получать массу решений уравнений и массу инвариантов в самых разных разделах математики.
В курсе будет предложено множество “школьных” (в т.ч. нерешенных) задач, многие из которых приводят к глубоким следствиям в разных областях математики и физики.
Мещерин Илья Семирович (ФПМИ МФТИ) — «Аксиомы теории множеств»
Что такое натуральные числа? Почему для натуральных чисел верны законы a+b=b+a и a+(b+c)=(a+b)+c? А почему для них верен принцип математической индукции?
Скорее всего, вы ответите: “натуральные числа – это числа 1, 2, 3, 4 и так далее”. (Что значит “и так далее”?) А свойства сложения натуральных чисел верны, ну, наверное, потому что это аксиомы. (Аксиомы чего? А какие тогда аксиомы еще есть?)
А что, если я вам скажу, что понятие натурального числа можно формально определить, а свойства сложения и умножения, как и принцип мат. индукции для натуральных чисел – строго доказать? Для этого понадобится всего лишь спуститься на уровень ниже – в формальную теорию множеств, еще называемую теорией Цермело-Френкеля или сокращенно ZFC.
Подобно тому, как “неопределяемые” понятия геометрии – точка и прямая – становятся определяемыми в мат. анализе, так и понятия натурального числа и действительного числа становятся формально определяемыми, если рассмотреть еще более “низкоуровневую” теорию – теорию множеств. Можно сказать, что теория множеств ZFC для остальных разделов математики играет ту же роль, какую математика играет для естественных наук: они на нее неявно опираются, но мало кто залезает вглубь.
В данном курсе мы сформулируем аксиомы теории множеств Цермело-Френкеля, после чего формально определим натуральные и все прочие числа, а затем увидим, как все привычные старые “аксиомы” (аксиомы натуральных чисел, аксиомы матанализа, аксиомы геометрии) становятся теоремами, которые можно строго доказать.
Мусатов Даниил Владимирович (ФПМИ МФТИ) — «Игры и сложность вычислений»
Все мы любим разгадывать головоломки и играть в игры. Также мы прекрасно знаем, что головоломки и игры могут быть “попроще” или “посложнее”. Но как эту сложность определить строго математически? На помощь приходит теория алгоритмов: сложность игры определяется через сложность алгоритма, определяющего оптимальную стратегию в ней. Эта сложность определяется через вычислительные ресурсы: время работы алгоритма, использованную память и т.д.
В мини-курсе мы узнаем, как посчитать эти ресурсы и определить сложность игры, изучим несколько классов вычислительных задач и классифицируем по ним несколько интересных игр и головоломок. Также мы прикоснёмся к нескольким открытым вопросам, включая одну из 7 задач тысячелетия – проблему равенства классов P и NP.
Райгородский Андрей Михайлович (ФПМИ МФТИ) — «Неравенства в теории вероятностей и их применения к случайным графам»
Савватеев Алексей Владимирович (АГУ, ФПМИ МФТИ) — «Великая теорема Ферма при n=3»
Теорема Ферма вдохновляла и направляла исследователей на протяжении долгих 3.5 веков. Её полное решение получено Эндрю Уайлзом в 1994-1995 годах, занимает сотни страниц и завершает плодотворные размышления сотен других математиков.
В процессе раздумий над ней разработан мощный аппарат современной математической науки, и доказательство пока далеко от «популярности». Однако простейшие случаи n=3,4 вполне доступны старшеклассникам.
В лекциях будет изложено геометрическое (насколько это возможно) доказательство теоремы Ферма для n=3, а также дано общее представление о том, как человечество шло к решению одной из самых великих и знаменитых в его истории загадок.
Стырт Олег Григорьевич (ФПМИ МФТИ) — «Основы алгебры»
Планируется в первую очередь дать основные сведения о ключевых алгебраических объектах: группах, кольцах, полях и пространствах над ними. Постараемся дойти до таких интересных вещей, как расширения полей, алгебры над полями. Масштабы продвижения будут зависеть от начального уровня владения азами этой теории и необходимости их детального изложения
Садовников Александр Владимирович (Сириус) — «Анализ данных на Python»
Для того чтобы работать с данными и делать на их основе выводы, нужно обладать математической интуицией и уметь её программировать. В больших компаниях существуют специалисты, которые занимаются подобными исследованиями, — аналитики. Их главной задачей является поиск ответов на заданные вопросы на основе данных.
В рамках курса вы познакомитесь с основами работы аналитика: узнаете, откуда берутся и как представляются данные, какие существуют современные инструменты для их анализа и как ими пользоваться, научитесь формулировать и проверять собственные исследовательские гипотезы.
Трушков Владимир Викторович (школа 2101) — «Частичные геометрии»
Структура называется конечной частичной геометрией $pg(s,t,\alpha)$, если существуют целые числа $s,t,\alpha \geqslant 1$, такие, что:
1) Для любой пары различных точек $p$ и $q$ существует максимум одна прямая, инцидентная обеим точкам.
2) На каждой прямой лежит $s+1$ точка.
3) Через каждую точку проходит $t+1$ прямая.
4) Если точка $p$ не лежит на прямой $\ell$, то существует в точности $\alpha$ пар, состоящих из точки $q$ и прямой $m$, таких, что $p$ лежит на $m$, а $q$ лежит на $\ell$.
Мы построим частичные геометрии для некоторых троек $(s,t,\alpha)$ и постараемся изучить связь этих структур с другими комбинаторными задачами.
Шубин Яков Константинович (ФПМИ МФТИ) — «Раскраски гиперграфов»
На лекциях мы рассмотрим известную открытую проблему о наименьшем числе рёбер в гиперграфах, который правильно не раскрашивается в r цветов. Такая задача была поставлена в 1961 П. Эрдешом и А. Хайналом только для r = 2.
Мы сравним разные подходы и те оценки, которые они дают. В основном будет использоваться вероятностный метод, то есть различные алгоритмы “случайной” покраски вершин гиперграфа.
Если успеем, то также сможем рассмотреть некоторые обобщения данной задачи.