Алексей Яковлевич Белов-Канель (Bar-Ilan University) — «Эллиптические функции»
Рассмотрим единичную окружность. Синус и косинус α есть координаты точки, находящейся на расстоянии α от точки с координатами (1,0) если идти вдоль окружности. Если заменить единичную окружность эллипсом x^2/a + y^2/b = 1, то возникают эллиптические функции. Оказывается, они двояко периодичны на комплексной плоскости.
Курс посвящен обсуждению некоторых их интересных свойств.
Борис Сергеевич Бычков (НИУ ВШЭ) — «Диаграммы Юнга»
Диаграммы Юнга. отвечают разложениям натурального числа на натуральные слагаемые. Плоские разбиения это обобщения диаграмм Юнга на следующую размерность.
Мы будем заниматься подсчётом плоских разбиений, который приведет к нескольким интереснейшим конструкциям из разных частей математики. Первая – это лемма Линдстрема-Гесселя-Вьено о числе наборов непересекающихся путей в прямоугольнике. Вторая – базис из многочленов Шура в кольце симметрических функций.
Вера Валерьевна Буланкина — «Вокруг теории графов. Сюжеты и методы»
На курсе мы коснёмся нескольких научных сюжетов вокруг теории графов и комбинаторной геометрии. Начнём с возможно уже кому-то знакомого метода <<перераспределения зарядов>> и его применения в доказательстве свойств планарных и квазипланарных графов. От него перейдём к сюжету о предписанном хроматическом числе Кнезеровских гиперграфов и к вероятностному методу в комбинаторике. Далее — насколько успеем.
Курс предполагается скорее ознакомительным, однако у тех, кому захочется углубиться в изучение того или иного сюжета — будут возможности. Никаких дополнительных знаний не требуется — обо всём можно будет спросить. К последним лекциям будут полезны базовые знания теории вероятностей.
Иван Воробьёв (НИУ ВШЭ) — «О линейной независимости радикалов»
При изучении алгебры естественным образом возникают радикалы из целых чисел. Встает вопрос о соотношениях между ними. Имеются тривиальные соотношения, типа $\sqrt[3]{16}=2\sqrt[3]{2}$ и т. п.
При этом возникает вопрос о линейной независимости радикалов (кроме тривиальных соотношений).
Простейшим фактом такого рода является: квадратные корни из натуральных чисел, свободных от квадратов, линейно независимы над полем рациональных чисел.
Мы начнем с доказательства этого факта, и закончим тем, что среди радикалов любой степени нет линейных зависимостей, кроме тривиальных.
Предварительная подготовка: полезно будет знание того, что такое векторное пространство, линейный оператор, однако всё будет напоминаться на лекциях.
Антон Сергеевич Гусев (ЦПМ, Сириус) — «Уравнения Пелля»
Уравнения Пелля — это уравнения вида $x^2-my^2=1$ , где $m$ — натуральное число, не являющееся точным квадратом. Они представляют собой класс диофантовых уравнений второй степени и связаны со многими важными задачами теории чисел.
Решение уравнений Пелля – задача непростая, хоть и выполнимая методами элементарной математики. Полное описание решений этих уравнений и является нашей конечной целью.
Попутно нам встретятся некоторые математические понятия и теоремы, которые на первый взгляд могут показаться не связанными с основной темой. Большинство из них представляет интерес не только как инструмент для исследований уравнений Пелля, но и сами по себе.
Для освоения курса никаких предварительных знаний не требуется.
Петр Молодык (НИУ ВШЭ) — «Генеративно-состязательные сети»
Для генерации объектов (например, изображений) с помощью нейронных сетей используют состязательный подход, при котором одновременно обучаются две модели: одна учится непосредственно генерировать объекты, а вторая – отличать реальные объекты от сгенерированных.
На этом курсе мы узнаем, как работают эти сети и увидим на примерах, какие проблемы встречаются при их обучении и как можно с ними бороться. Докажем, что при таком подходе теоретически можно сколь угодно точно приближать реальное распределение данных.
Даниил Владимирович Мусатов (ФПМИ МФТИ) — «50 лет проблемы равенства P и NP»
в 1971 году в независимых работах Стивена Кука и Леонида Левина была поставлена фундаментальная проблема о равенстве классов P и NP. Кратко она формулируется так: существуют ли такие задачи, которые можно решить перебором всех потенциальных вариантов, но нельзя решить эффективно, т.е. за полиномиальное время? Подобного рода переборные задачи встречаются довольно часто. Например: можно ли раскрасить граф в 3 цвета? Есть ли в графе независимое множество заданного размера? Выполнима ли логическая формула? Разрешима ли система уравнений в целых числах? Есть ли решение у головоломки судоку?
Есть и более практические задачи. Как составить расписание, учтя все требования? Как наилучшим образом устроить доставку грузов? Как сгенерировать белок, который нейтрализует опасный вирус? Если P=NP, то для всех этих задач есть универсальный и быстрый алгоритм. К сожалению, он же будет подходить и для злых задач, таких как взлом шифра, защищающего частную почту или обеспечивающего платёж через интернет. Так что такое открытие серьёзно изменит всю нашу цивилизацию. С другой стороны, если будет доказано P≠NP, то внешне ничего не изменится, но мы наверняка намного глубже проникнем в природу вычислений.
За прошедшие с постановки задачи 50 лет стала ясна вся глубина проблемы. Она не просто осталась открытой: оказалось, что целые классы методов в принципе не могут её решить. В мини-курсе мы изучим точную постановку задачи, рассмотрим множество примеров и познакомимся с обстоятельствами, препятствующими её решению.
Андрей Михайлович Райгородский (ФПМИ МФТИ, мехмат МГУ) — «Линейная алгебра в комбинаторике»
Я расскажу о различных задачах «экстремальной комбинаторики» и связанных с ними проблемах геометрии, которые можно решить с помощью современных алгебраических методов. Разумеется, я аккуратно напомню или просто с нуля объясню слушателям основные понятия линейной алгебры (все будет наглядно и не слишком формально).
Филипп Дмитриевич Рухович (ФПМИ МФТИ) — «Поиск кратчайшего пути в графе: оптимальный алгоритм»
В данном курсе мы бросим вызов самим себе и изучим достаточно сложный алгоритм, который ищет кратчайшие расстояния от одной
вершины до всех остальных во взвешенном неориентированном графе с целыми положительными весами – и делает это за O(V+E)! Не за O(V^2 + E), как алгоритм Дейкстры, не за O(E log V), как Дейкстра с кучей или сетом, а именно за O(V+E). Это алгоритм Торупа (Thorup) образца 1999 года.
Для курса крайне желательно знать и уметь программировать алгоритм Дейкстры, плюсом будет знание алгоритма поиска в ширину и его модификаций.
Алексей Владимирович Савватеев (ФПМИ МФТИ) — TBA
Артемий Алексеевич Соколов (ФПМИ МФТИ) — «Дистанционные графы в рациональных пространствах»
Известная задача о хроматическом числе пространства спрашивает, какое минимальное количество цветов нужно для того, чтобы покрасить всю плоскость так, чтобы никакие две точки на расстоянии 1 не были бы покрашены в один цвет. Известно, что минимальное необходимое количество цветов находится между 5 и 7.
Оказывается, что если ограничить область рассмотрения до точек плоскости с рациональными координатами, то ответ меняется кардинально — хроматическое число становится равно 2.
Мы поговорим о том, как меняются разнообразные характеристики дистанционных графов, если их начать рассматривать в рациональных пространствах, и о том, как с ними работать.
Владлен Анатольевич Тиморин (НИУ ВШЭ) — «Инвариантные деревья для рациональных функций»
Мы рассмотрим простейшие рациональные функции (такие, как $f(z)=z^2-1$) как динамические системы на сфере (то есть будем интересоваться поведением последовательностей вида $z$, $f(z)$, $f(f(z))$, …).
Довольно часто оказывается, что такие динамические системы задаются комбинаторными объектами, а именно, вложенными деревьями. Мы обсудим некоторые связи между динамикой и комбинаторикой: как дерево позволяет восстановить динамику, как у данной рациональной функции найти инвариантное дерево, как классифицировать и перечислять инвариантные деревья. Впрочем, эти вопросы оказываются сложными, и простых ответов дано не будет – а будут открытые задачи.