Белов-Канель Алексей Яковлевич (ФПМИ МФТИ, Bar-Ilan University, Shenzhen University) — «Многомерные пространства»
В многомерных пространствах проявляется ряд различных феноменов, порой весьма странных. Например, объем $n$-мерного шара радиуса 2022 при $n\to\infty$ стремиться к нулю! Хотя диагональ $n$-мерного единичного куба равна $\sqrt{n}$, два множества объема $\varepsilon$ не могут отстоять друг от друга далеко – расстояние между ними не превосходит $C\cdot\sqrt{\ln(\varepsilon})$ при некоторой константе $C$ не зависящей ни от $\varepsilon$, ни от размерности. Для симплексов и многомерных октаэдров величину $C\cdot\sqrt{|\ln(\varepsilon)}|$ следует заменить на $C\cdot|\ln(\varepsilon)|$.
C этими вопросами связана изопериметрическая задача: какую минимальную площадь поверхности может иметь тело заданного объема. (например, пространство $\mathbb{R}^n$, поверхность сферы, пространство $\mathbb{R}^n$ с гауссовой мерой, внутренность куба $(0;1)^n$). На этом вопросе, который и будет основным предметом этого курса, мы продемонстрируем ряд различных подходов.
С дискретным вариантом изопериметрической задачи связан олимпиадный сюжет:
в квадрате расставлены числа от 1 до $n^2$. Тогда найдутся две соседних клетки, в которых написаны числа, отличающиеся не менее чем на $n$, и его пространственные обобщения.
Буланкина Вера Валерьевна (ЦПМ, школа 2101) — «Разговоры о прикладной статистике»
Гусев Антон Сергеевич (ЦПМ, Сириус) — «Раскраски графов»
В рамках мини-курса мы познакомимся с базовыми задачами из такой красивой области, как раскраски графов. В рамках курса планируется дойти до теоремы Брукса и ее усиления при помощи теоремы Брукса 🙂
Неустроева Елизавета (ФПМИ МФТИ) — «Применения Формулы Эйлера»
Формула Эйлера – известное соотношение, связывающее количества вершин, ребер и граней планарного графа. Мы поговорим о ее применениях в разных задачах комбинаторной геометрии. Сначала мы опишем правильные многогранники, по пути доказав теорему Коши о жесткости (тоже с применением формулы Эйлера!).
Потом мы обсудим теорему Сильвестра-Галлаи, которая формулируется как простая олимпиадная задачка: «Для любого множества из хотя бы двух точек на плоскости, не лежащих на одной прямой, найдется прямая, содержащая ровно две точки». Помимо короткого школьного решения обсудим и другие интересные подходы и обобщения.
Райгородский Андрей Михайлович (ФПМИ МФТИ, мехмат МГУ) — «Линейно-алгебраический метод в комбинаторике»
Я расскажу о различных задачах «экстремальной комбинаторики» и связанных с ними проблемах геометрии, которые можно решить с помощью современных алгебраических методов. Разумеется, я аккуратно напомню или просто с нуля объясню слушателям основные понятия линейной алгебры (все будет наглядно и не слишком формально).
Ретинский Вадим Игоревич (матфак ВШЭ, ЦПМ) — «Графы на поверхностях и произведения перестановок»
Графы на поверхностях — это обобщение планарных графов. Мы обсудим Эйлерову характеристику поверхностей и формулу Эйлера для графов, а также обнаружим взаимно-однозначное соответствие между графами на поверхностями и наборами перестановок, произведение которых тождественно. Также мы обсудим несколько обобщений на языке перестановок, уже не имеющих описания на языке графов.
Савватеев Алексей Владимирович (ФПМИ МФТИ) — «Эллиптические кривые: от Диофанта до Пуанкаре (и далее)»
Я расскажу про самую красивую область математики, так или иначе касающуюся практически всех других областей (в том числе, практики — через функционирование криптовалюты биткойн). Это теория эллиптических кривых. Сложение точек на кривой третьего порядка придумал Диофант Александрийский, но он не понял, что там кроется групповая операция (ибо не дошел всё-таки до понятия группы, либо дошел, но поместил в 7-13 тома своих сочинений, которые сгорели и до нас не дошли). Пуанкаре это понял.Самое сложное — это то, что сложение точек ассоциативно. Мы попробуем это доказать. Заодно я расскажу о нескольких красивейших задачах из жизни, сводящихся к эллиптическим кривым. Кстати, и Великая Теорема Ферма доказана именно на базе развиваемой техники!!
Садовников Александр Владимирович (Сириус) — «Анализ данных на Python»
Аналитик — это человек, который занимается анализом данных пользовательского сервиса. Одним из главных навыков аналитика является умение быстро и качественно отвечать на вопросы про аудиторию платформы. И зачастую для того, чтобы ответить на какой-то вопрос, в распоряжении аналитика есть только данные, ограниченное количество времени и любимая среда разработки.
В рамках курса мы поставим себя на место аналитиков и изучим основные технологии, которые позволяют быстро и эффективно анализировать данные на Python: познакомимся с библиотекой pandas, предназначенной для анализа табличных данных, а также с самыми популярными библиотеками для визуализации данных — matplotlib и seaborn. Кроме этого, мы изучим некоторые модели машинного обучения, которые используются аналитиками для предсказания различных характеристик аудитории.
Соколов Артемий Алексеевич (ЦПМ, ФПМИ МФТИ) — «Цепные дроби и константа Хинчина»
Любое вещественное число $\alpha$ можно представить в виде
$\alpha = a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\cfrac{1}{\ddots}}}}$
которое называется цепной, или непрерывной дробью.
Оказывается, что для почти всех $\alpha$ последовательность $x_n = \sqrt[n]{a_0 \ldots a_n}$ имеет предел $K$, которой при этом не зависит от числа $\alpha$ и $K\approx2{.}685452$.
Этот удивительный факт несложно вытекает из эргодической теоремы Биргхофа-Хинчина, о которой по большей части и пойдет речь.
По ходу курса нам понадобятся свойства цепных дробей и понятие меры множеств. Но, разумеется, все необходимые понятия будут объяснены и подробно разобраны.
Трушков Владимир Викторович (школа 2101) — «Сильно регулярные графы»
Граф $G$ на $n$ вершинах является сильно регулярным, если степени всех вершин равны $k$; любые две смежные вершины имеют $\lambda$ общих соседей; любые две несмежные вершины имеют $\mu$ общих соседей. Такие графы обозначаются $srg(n,k,\lambda,\mu)$.
Сильно регулярные графы возникают в задачах про числа Рамсея, в задачах про запрещённые подграфы, в конечной геометрии, в теории кодирования и т.д.
В мини-курсе планируется рассказать про задачи, приводящие к СРГ, а также описать построение некоторых графов. Например, графа Хоффмана-Синглтона $srg(50,7,0,1)$. В этом замечательном графе степень каждой из 50 вершин равна 7, а длина пути между любыми двумя вершинами не превосходит 2.