Анонсы курсов

Алексей Яковлевич Белов-Канель (ФПМИ МФТИ, Bar-Ilan University, Shenzhen University) — «Теорема Жордана» 

Миникурс посвящен доказательству утверждения, очевидного для каждого математика — но нетривиального для математика: кривая (гомеоморфный образ окружности) делит плоскость на две части, а также родственных утверждений: теорема Брауэра о неподвижной точке, теоремы Лебеда о покрытиях )клетки клетчатого куба раскрашены в 3 цвета, тогда существует одноцветный путь, соединяющий противоположные грани) и некоторых других.


Борис Сергеевич Бычков (НИУ ВШЭ, ФПМИ МФТИ) — «Электрические сети и перечисление деревьев»

В курсе из 3 лекций я расскажу об удивительной связи между перечислением остовных деревьев графа, линейной алгеброй и теорией электрических сетей. Основу курса будут составлять интерпретации матричной теоремы о деревьях. Также мы обсудим связь задач модели электрических сетей с другими моделями статистической физики. Никаких предварительных знаний о линейной алгебре и статистической физике не предполагается.


Михаил Александрович Григорьев (ФПМИ МФТИ) — «Совершенные графы»

Для любого графа верно, что его хроматическое число не меньше, чем его кликовое число. Для некоторых графов эта оценка точна и даже точна для всех подграфов.

Такие графы называются  совершенными. 

В рамках лекций мы докажем, что совершенными являются любые двудольные или хордовые графы, а также графы пересечения отрезков и графы частично упорядоченных множеств. Узнаем как связаны теоремы Кёнига, Хелли, Мирского, Дилуорса с совершенными графами.

И попробуем доказать теорему до недавнего времени оставшуюся гипотезой: дополнение к совершенному графу является совершенным графом.


Антон Сергеевич Гусев (ЦПМ) — «Круговые многочлены и теорема Зигмонди»

Теорема Зигмонди утверждает, что у a^n — b^n есть простой делитель, которого нет ни у одного из чисел вида a^k — b^k при k < n.

Эта непримечательная на первый взгляд теорема имеет обширное применение для решения уравнений в целых числах. Для ее доказательства нам предстоит познакомиться с таким замечательным объектом, как многочлены деления круга. Ну и конечно будут рассмотрены некоторые примеры её практического применения. 

Для понимания курса достаточно базовых знаний о комплексных числах.


Дмитрий Геннадьевич Ильинский (ФПМИ МФТИ, школа 179) — «Устойчивые паросочетания»

«Задача об устойчивых паросочетаниях (или задача о марьяже) — задача из теории кооперативных игр, возникшая в середине 20-го века. Требуется найти стабильные соответствия между элементами двух множеств, имеющих свои предпочтения. Алгоритм нахождения решения был сформулирован и доказан в 1962 году и имеет широкие применения, такие как распределения врачей по больницам, стажировка сотрудников фирм, распределение пользователей сети по серверам. Авторы этого алгоритма были удостоены Нобелевской премии в 2012-м году “за теорию устойчивого распределения и моделирование некоммерческих рынков.”

Предварительных знаний не требуется (за исключением базовой теории множеств), всё необходимое будет определено в рамках курса. Мы опишем постановку задачи, различные её формулировки, основной алгоритм, описание множества решений, а также обсудим похожие задачи.»


Даниил Владимирович Мусатов (ФПМИ МФТИ) — «Протоколы электронного голосования»

Системы голосования должны удовлетворять двум противоречивым требованиям: честности подсчёта и тайне голосования. В бумажных процедурах тайна голосования обеспечивается одинаковыми бюллетенями, скрытой простановкой отметки и перемешиванием бюллетеней в урне, а честность подсчёта — публичным наблюдением. Но как добиться аналогичного результата при голосовании через интернет? И можно ли добиться большего: чтобы свой голос нельзя было достоверно раскрыть даже при желании? В мини-курсе мы обсудим возникающие сложности, изучим несколько протоколов и узнаем, зачем может понадобиться лотерейный барабан в избирательной кабинке.


Андрей Михайлович Райгородский (ФПМИ МФТИ, мехмат МГУ, Яндекс) — «Вероятность в теории чисел»

В лекциях я расскажу о нескольких задачах про распределение простых чисел и о том, как удивительным образом в их решении помогает вероятность.


Алексей Владимирович Савватеев (Университет Дмитрия Пожарского, ФПМИ МФТИ) — «Главная формула математики»

Высшая математика вообще и математический анализ в частности изобилуют новыми и непривычными для простого школьника понятиями.

Часто не хватает внутренней мотивации, чтобы в них не запутаться, всё расставив в голове по местам. Мне всегда казалось, что аппарат усваивается проще при наличии некой сквозной идеи, под которую потом цепочкой выстраиваются возникающие конструкции и многочисленные технические результаты.

Я попробую убедить слушателей в том, что такая идея существует — а именно, построение экспоненты как отображения, переводящего сложение в умножение (гомоморфизм между двумя операциями в поле, говоря научным языком). Мы выведем её свойства, перейдём в комплексную область, и докажем Главную Формулу Математики: e^{i \pi} = -1


Евгений Юрьевич Смирнов (матфак ВШЭ, НМУ) — «Суммы степеней и числа Бернулли»

Скорее всего, все знают формулы для нахождения суммы первых n чисел:

1 + 2 + … + n = n(n+1)/2,

их квадратов:

1^2 + 2^2 + … + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6,

кубов:

1^3 + 2^3 + … + n^3 = n^2 (n+1)^2 / 4.

А как найти сумму 1^k + 2^k + … + n^k  для произвольного k? 

Мы попробуем угадать, как должен выглядеть ответ в этой задаче, а потом обсудим и объясним полученные закономерности. Общий ответ можно сформулировать в терминах чисел Бернулли; в курсе будет объяснено, что это за числа и как их вычислять. Кстати, сам Якоб Бернулли писал, что с помощью изобретенного им метода нашёл сумму десятых степеней первой тысячи натуральных чисел в течение “менее половины четверти часа”.


Артемий Алексеевич Соколов (мехмат МГУ, школа 179) — «Триангуляции Делоне»

На этом курсе мы будем рассматривать триангуляцию множества точек на плоскости, в которой в описанной окружности каждого треугольника нет других точек множества (триангуляции Делоне). Оказывается, что такая триангуляция не только существует и почти всегда единственна, но и обладает множеством интересных экстремальных свойств.

В частности, оказывается, что в такой триангуляции нет «узких» треугольников (а именно, максимизируется минимальный угол всех треугольников).

На лекциях мы обсудим как можно из любой триангуляции получить триангуляцию Делоне посредством элементарных преобразований («флипов»), докажем несколько свойств и разберем несколько алгоритмов, как можно такую триангуляцию быстро построить.


Владимир Викторович Трушков (школа 2101) — «Графы с запрещёнными подграфами»

В мини-курсе мы обсудим задачи о максимальном количестве рёбер в графах, в которым запрещены подграфы K_{2,m}. В частности, когда запрещён «квадрат», он же цикл C_4, он же K_{2,2}.

Для построения примеров графов с большим числом рёбер, которое близко к оптимальному, мы применим красивую конечную геометрию.

Если останется время, поговорим о запрете подграфов K_{3,3} и поговорим, что в этой теории ещё неизвестно.