Анонсы курсов

Алексей Яковлевич Белов-Канель (ФИВТ МФТИ, Bar-Ilan University, Shenzhen University) — «Алгебраические и трансцендентные числа» 

Задачи

Всем говорят в школе, что число иррационально и даже – трансцендентно, т. е. не является корнем многочлена с целыми коэффициентами. Имеется изящное и вполне элементарное доказательство Эрмита иррациональности числа   (требующее только знания интегрирования по частям – понимания как вычислить интеграл ).
Наша цель – доказательство теоремы Линдемана–Веерштрасса (если линейно независимые над алгебраические числа, то алгебраически независимы), а также теоремы Гельфонда (если числа  алгебраические, то  есть число трансцендентное).


Михаил Бурцев (ФПМИ МФТИ) — «Глубокое обучение – революция в искусственном интеллекте»

Обычно алгоритмы плохо масштабируются, чем больше данных нужно обрабатывать, тем хуже результат. Но оказывается, что много данных это не всегда плохо. Глубокие нейронные сети — подход к машинному обучению, вдохновленный принципами работы мозга, дает фантастические результаты, только когда объем данных превышает некоторый порог. Среди компаний, использующих глубокое обучение в своих продуктах, Google, Microsoft, Facebook, IBM. Как работают искусственные нейронные сети? Почему обучение глубокое? Где оно используется. Можно будет узнать из лекции.


Олег Николаевич Герман (мехмат МГУ) — «Непростые простые»

Задачи

Всем известна основная теорема арифметики — о том, что любое число более-менее однозначно раскладывается в произведение простых. Утверждение кажется совсем очевидным, но это иллюзия. Например, если ограничиться чётными числами и запретить нечётные, то 36 будет иметь два различных разложения: 36=6·6 и 36=18·2. Речь в курсе пойдёт про аналоги простых и составных чисел в различных алгебраических структурах. В частности, мы поговорим про целые гауссовы числа и про целые числа Эйзенштейна.


Дмитрий Ильинский (ФИВТ МФТИ, школа 179) — «Вероятностные тесты на простоту»

Задачи

В современной криптографии важную роль играют эффективные алгоритмы для проверки большого случайного числа на простоту. Все такие алгоритмы можно разделить на две группы: детерминированные и вероятностные. В нашем курсе мы изучим несколько различных примеров, в частности тесты Ферма и Миллера-Рабина. Для понимания алгоритмов мы изучим (повторим) базовые утверждения про системы вычетов (остатков): малую теорему Ферма, теорему Эйлера, теорему Вильсона, существование первообразного корня.


Даниил Мусатов (ФИВТ МФТИ) «Математика выборов»

Задачи

В мини-курсе мы познакомимся с разнообразной математикой, возникающей при анализе выборов как формальной процедуры.
Первая лекция будет посвящена системам выборов, принятым в различных частях мира, и возникающим при этом эффектам. Как можно стать президентом США, набрав 11 (одиннадцать) голосов? Почему каталонские сепаратисты выиграли большинство в парламенте, получив меньшинство голосов? Что такое джерримендеринг и единый передаваемый голос? Мы ответим на эти и многие другие вопросы.
Вторая лекция объяснит, почему разных систем так много. Оказывается, идеальной системы не бывает: любая система либо может выдать результаты, которые не устроят никого, либо просто повторяет мнение одного участника (диктатора), либо подвержена тем или иным манипуляциям. Об этом говорит знаменитая теорема Эрроу, которую мы и докажем.
На третьей лекции мы обратимся к совершенно иному аспекту, а именно безопасности электронных процедур голосования. Как одновременно добиться честности подсчёта и тайны голосования, если голоса отправляются по интернету? Мы обсудим различные протоколы, которые позволяют решить эту задачу, а также возможные дополнительные требования, например, невозможность принудить к конкретному выбору.


Андрей Михайлович Райгородский (ФИВТ МФТИ, мехмат МГУ, Яндекс) — «Хроматическое число кнезеровского графа и его окрестности»

Задачи

В курсе будет рассказано об одном из самых замечательных объектов на стыке комбинаторики и теории графов — о так называемом кнезеровском графе. Это граф, у которого вершины — все возможные r-элементные подмножества n-элементного множества, а ребра — пары непересекающихся вершин. В лекциях мы обсудим удивительную историю отыскания хроматического числа кнезеровского графа, изучим топологический метод в комбинаторике и поговорим о некоторых интересных обобщениях первоначальной постановки. Будет и пара катарсисов, и одна нерешенная проблема.


Филипп Рухович (ФИВТ МФТИ) — «Внешние бильярды»

Задачи

Рассмотрим многоугольник M. Из точки A на плоскости проведем касательную (т.е. опорную прямую) к M и отразим относительно точки касания; такое преобразование называется преобразованием внешнего биллиарда.

Если применять такую операцию к точке многократно, то точка может оказаться периодической, т.е. в какой-то момент вернуться в себя — а может и не вернуться, т.е. оказаться апериодической. Планируется рассказать о том, как устроены периодически точки, какие алгоритмы могут быть полезны для компьютерных экспериментов, и почему компьютер оказывается практически необходимым для полноценного исследования.


Алексей Владимирович Савватеев (Университет Дмитрия Пожарского, ФИВТ МФТИ) —

«Конечные подгруппы групп преобразований»

Задачи

Теорема Шаля доказывается так: пускай у нашего движения столько-то точек остаётся на месте, тогда докажем, что оно является (тождественным, поворотом, отражением и так далее). На самом деле это достаточно общий приём изучения групп более хитрых преобразований множества, не обязательно движений.

Довольно большое внимание всегда уделяется конечным подгруппам. Решая задачу классификации таких подгрупп, мы ставим вопрос о том, как устроено множество точек, неподвижных хотя бы для одного из преобразований нашей конечной подгруппы.

Соответствующий на редкость красивый анализ будет сперва проведён для случая конечных подгрупп движений прямой, окружности, плоскости и сферы (в последнем случае мы придём к движениям, сохраняющим какое-то из платоновских совершенных тел).

Затем я расскажу про два очень специальных случая конечных подгрупп рациональных преобразований прямой и плоскости — один из них основан на изучении двойного отношения точек, а второй связан с формулой x^3 + y^3 + z^3 — 3xyz = (x+y+z)(……), известной каждому школьнику математического класса (остальных прошу вывести её самостоятельно, или разузнать у знакомых либо в интернете!).

Возможно, мы успеем рассмотреть родственный вопрос о функциональных выражениях для сложения точек на эллиптических кривых, но это неточно.


Евгений Юрьевич Смирнов (матфак ВШЭ, НМУ) — «Вращения пространства и кватернионы»

Задачи

Вращения плоскости удобно описывать при помощи умножения на комплексные числа единичного модуля. А как можно представлять себе вращения трехмерного пространства? Или, что то же самое, как задать положение твердого тела с фиксированным центром масс? Один из способов сделать это состоит в задании так называемых углов Эйлера; в математике называют углами собственного вращения, прецессии и нутации, а в авиации — углами курса, крена и тангажа.

Однако этот способ не дает простого правила, позволяющего вычислять композиции вращений. Долгое время ученые пытались определить на трехмерном пространстве умножение, подобное комплексному умножению векторов плоскости, которое позволило бы это сделать. Это удалось лишь в середине XIX века ирландскому математику Гамильтону; правда, для этого ему пришлось ввести дополнительное измерение и перемножать элементы не трехмерного, а четырехмерного пространства.

Полученные «гиперкомплексные числа» называются кватернионами. Впоследствии кватернионы нашли массу применений как в чистой математике, так и в ее приложениях, в частности, в механике и компьютерной графике.

Планируется три занятия; никаких предварительных знаний не требуется. Не обязательно, но полезно иметь опыт работы с комплексными числами.


Данила Черкашин (матмех СПбГУ, ФПМИ МФТИ) — «Разбиение квадрата на треугольники»

Задачи

Мы поймем, что квадрат невозможно разрезать на нечётное число треугольников одинаковой площади.
Для этого мы воспользуемся комбинаторной топологией (лемма Шпернера) и теорией чисел (2-адические числа).