Дмитрий Алексеевич Белов (мехмат МГУ) — TBA
Олег Николаевич Герман (мехмат МГУ) «Алгебраические числа и конечные расширения»
Число называется алгебраическим, если оно является корнем многочлена с целыми коэффициентами. Множество алгебраических чисел имеет очень богатую внутреннюю структуру, изучать которую мы и начнћм в рамках нашего курса. Мы познакомимся с неприводимыми многочленами, квадратичными расширениями, целыми гауссовыми числами, числами Лиувилля. Заодно мы узнаем (а кто-то просто вспомнит), как устроены комплексные числа, цепные дроби и симметрические многочлены. В конце концов мы вступим на порог сложной, содержательной и невероятно красивой теории Галуа.
Антон Сергеевич Гусев (мехмат МГУ) — TBA
Максим Евгеньевич Жуковский (ФИВТ МФТИ, Яндекс) «Случайные графы»
Анонс – в PDF.
Алексей Яковлевич Канель-Белов (ФИВТ МФТИ, Bar-Ilan University) — TBA
Роман Игоревич Просанов (мехмат МГУ) «Евклидова теория Рамсея»
Многие, возможно, слышали о теории Рамсея – разделе математики, который в некотором смысле связан с поиском порядка в произвольных структурах большого размера. Мы займћмся непосредственно геометрическими аспектами этой теории – так называемой евклидовой теорией Рамсея. Приведћм пример задачи, характерной для этого раздела. Рассмотрим раскраску плоскости в несколько цветов. При каких условиях мы можем утверждать, что найдутся две точки одного цвета на расстоянии 1 друг от друга? А можем ли мы найти на этой плоскости копию некоторого заданного треугольника такую, что все ећ вершины будут иметь одинаковый цвет? Несмотря на простоту формулировки, многие вопросы такого типа не решены до конца и по всей видимости связаны с глубокими вопросами о строении множеств в евклидовом пространстве.
Андрей Михайлович Райгородский (ФИВТ МФТИ, Яндекс, мехмат МГУ) «Хроматические числа различных метрических пространств»
Многие наверняка от меня же знают разные аспекты очень красивой науки о раскрасках плоскости, пространства и даже их многомерных аналогов. Однако эта наука неисчерпаема, и я собираюсь предложить вам задачи, со многими из которых вы еще ни разу не встречались ни на одном из моих курсов. Среди этих задач будет масса простых и вводных, но будут и такие, решая которые мы вместе с вами выйдем на передний край этого увлекательного раздела комбинаторики и комбинаторной геометрии. А пафос будет в том, что свойства раскрасок очень сильно зависят от разных условий, которые мы можем наложить на них и на то пространство, которое мы будем красить. В частности, мы узнаем, что даже банальную прямую совсем не всегда так уж легко покрасить! Разумеется, проект будет совершенно доступен и тем, кто никогда не слышал ни о каких хроматических числах. Помимо вводной лекции, я планирую прочитать еще пару лекций, которые естественно дополнят проект.
Алексей Владимирович Савватеев (РЭШ, УДП, ЦЭМИ, Яндекс, МФТИ, ИГУ, ОРЭСП ИНЦ СО РАН) «Доказательная геометрия»
На рубеже XVIII-XIX веков произошла «первая математическая революция»
(вторая происходит на рубеже XX-XXI веков на наших с вами глазах). А именно,
был решен целый ряд задач, стоявших с античных времћн. Среди них: как найти
общую формулу для корней уравнения пятой (и более высокой) степени; как
построить с помощью циркуля и линейки куб, вдвое бОльший данного; как
разделить данный угол на три равные части; и некоторые другие проблемы.
Общей характерной чертой полученных решений было то, что они содержали
_доказательства_невозможности_ требуемого в задачах. На этом пути произошло
становление науки, которую я бы назвал «доказательной геометрией». Речь идёт о
сведении геометрических формулировок к задачам из области чистой алгебры, и
затем, после наращивания «военной техники», прихода к противоречию с логикой
изучаемых алгебраических конструкций.
Я докажу наиболее простые теоремы доказательной геометрии, относящиеся
к построениям циркулем и линейкой. С этой целью я познакомлю слушателей с
базовыми понятиями теории расширений полей и теории алгебраических чисел.
Никаких предварительных знаний ни в какой области математики не требуется!
Илья Дмитриевич Шкредов (Математический институт им. Стеклова, ИППИ РАН) «Крестики-нолики, арифметические прогрессии и теорема Ван дер Вардена»
Существует ли выигрышная стратегия для крестиков-ноликов в трехмерном
пространстве, то есть в кубике 3*3*3? А для кубика в n-мерном
пространстве? А что будет, если играют не два, а несколько игроков?
Оказывается все эти вопросы связаны с нерешенными задачами аддитивной
комбинаторики и, в частности, с замечательными теоремами Ван дер
Вардена и Семереди.
В нашем курсе мы расскажем, что известно современной математике о
данных проблемах.